魔方40年來一直是世界上最受歡迎的玩具之一。有大量介紹如何解開魔方的書籍，設(shè)計出幾種不同的復(fù)原公式。專業(yè)的“speedcubers”可以在幾秒鐘內(nèi)還原一個魔方。

根據(jù)百科—三階魔方詞條，三階魔方由一個連接著六個中心塊的中心軸以及結(jié)構(gòu)不一的20個方塊構(gòu)成，當(dāng)它們連接在一起的時候會形成一個整體，并且任何一面都可水平轉(zhuǎn)動而不影響到其他方塊。

正確計算式如下：

首先六個中心塊是不可以移動的，他們由于顏色的區(qū)分正好構(gòu)成一個坐標(biāo)系。在這個坐標(biāo)系里有8個角位置，和12個棱位置。

對于8個角位置，我們有全排列8！而8個小角色塊有3種的朝向，所以要乘上3^8。對于12個棱色塊，同樣的道理，有12!*2^12。

以上兩種組合要合在一起，它的變化數(shù)就是把這樣兩個數(shù)字相乘，就是上面算式的分子(8! * 3^8 * 12! * 2^12)。

這個結(jié)果其實就是如果我們把魔方拆掉，再隨機(jī)的組裝起來，一共可以得到的變化數(shù)。這個數(shù)字是上面結(jié)果的12倍。也就是說我們隨意組裝的一個魔方有11/12的概率不能還原到六面分別同色的狀態(tài)的。對于分母的3*2*2，它們分別的意義是，保持其他色塊的位置和朝向不變，不可能單獨翻轉(zhuǎn)一個棱色塊(也就是將其兩個面對調(diào))，不可能單獨翻轉(zhuǎn)一個角色塊，不可能單獨對調(diào)一對色塊的位置。

盡管存在如此驚人的復(fù)雜性，但數(shù)學(xué)家在2010年證明，無論初始狀態(tài)如何，三階魔方都可以在20步內(nèi)完成求解。該數(shù)字被稱為“上帝數(shù)字”，因為人類目前使用的公式還未能達(dá)到如此效率。

但是反過來呢：打亂一套齊整的多維數(shù)據(jù)集需要多少個步驟？乍一看，這聽起來十分容易。畢竟，搗亂和弄糟無需任何技巧。

類似如洗牌問題，是已經(jīng)被解決的例子。根據(jù)1990年數(shù)學(xué)家Dave Bayer和Perci Diaconis對“鴿尾式洗牌”的著名研究，如一副撲克的順序是隨機(jī)的，則將其定義為“洗好的”，Bayer和Diaconis表明，7次洗牌是足夠的，足以洗好標(biāo)準(zhǔn)撲克。

去年，數(shù)學(xué)家對數(shù)字推盤游戲-15進(jìn)行了類似的研究——數(shù)字推盤游戲的板上會有十五個方塊和一個大小相當(dāng)于一個方塊的空位(供方塊移動之用)。

試圖打亂魔方的典型操作，產(chǎn)生的隨機(jī)狀態(tài)序列被數(shù)學(xué)家稱為馬爾可夫鏈。關(guān)鍵屬性是，給定當(dāng)前狀態(tài)，下一個狀態(tài)的概率不取決于之前任何狀態(tài)。

對于簡化版的2×2×2小魔方來說，科學(xué)家證明，至少需要19步，才可使魔方的排布足夠隨機(jī)

本文譯自 phys，由譯者 majer 基于創(chuàng)作共用協(xié)議(BY-NC)發(fā)布。

其實原文的要點是“馬爾可夫鏈蒙特卡洛”方法。但是，翻出來估計也沒人懂，且還需要配圖輔助理解。有特殊興趣的可以點擊上面的原文。文內(nèi)末尾的超鏈接是github上的分析和代碼。