一般說來， 數(shù)學和 藝術(shù)是兩種非常不同的領域——前者致力于抽象思維，后者致力于感覺。但有時你會發(fā)現(xiàn)，這二者之間有著不可思議的相似之處。

從伊斯蘭的瓷磚到 杰克遜·波洛克（Jackson Pollock，抽象主義繪畫大師）繪制的混亂圖形，我們可以看到藝術(shù)與隨之而來的數(shù)學研究之間有著怎樣驚人的相似性。盡管這兩種思維方式并不完全相同，但有趣的是，其中一種往往預示著另外一種。

藝術(shù)有時能促進數(shù)學發(fā)現(xiàn)嗎？這是一個沒有簡單答案的問題，但在某些情況下，這似乎是很有可能的。

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阿爾罕布拉宮的圖案

以在西班牙格拉納達的阿爾罕布拉發(fā)現(xiàn)的伊斯蘭裝飾為例。

在14和15世紀，阿爾罕布拉宮是柏柏爾君主的宮殿和后宮。對許多游客來說，這里是世界上最接近天堂的地方：它有著一系列帶有噴泉的露天庭院，周圍是能提供遮蔽和陰涼的拱廊。天花板被澆筑成像鐘乳石一樣的精致幾何圖案。最耀眼的是周圍墻壁上的彩色瓷磚裝飾，讓人眼花繚亂，帶來一種奇妙的喜悅感。就像音樂一樣，這些圖案能旁觀者體驗到一種近乎靈魂出竅的狀態(tài)，一種置身天堂般的狂喜。

○ 阿爾罕布拉的瓷磚拼圖。| 圖片來源：Wikipedia Commons

這是藝術(shù)和數(shù)學推理的勝利。這個裝飾物探索了數(shù)學的一個分支—— 密鋪，它指的是用規(guī)則的幾何圖案完全填充一個空間。數(shù)學表明，一個平面可以被具有三、四和六條邊的對稱圖形規(guī)律覆蓋，但不能被對稱的五邊形以這種形式覆蓋。

不過如果用三角形、正方形和六角形來組合成不同的形狀，也可以做到對整個空間的填充。阿爾罕布拉宮陶醉于這種精心設計的組合，這是一類很難被視為靜止而不是動態(tài)的圖案。它們似乎會在我們眼前旋轉(zhuǎn)，刺激我們的大腦行為，當我們看到它們的時候，我們會以不同的結(jié)構(gòu)來重置它們的圖案。

這是一種情感體驗嗎？正是這樣。但是，這種伊斯蘭鑲嵌圖案的迷人之處就在于，這些通過無數(shù)能工巧匠打造的藝術(shù)作品顯示出了他們對數(shù)學邏輯的近乎完美的掌握。

數(shù)學家已經(jīng)確定了17種對稱性，如左右對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等等。在阿爾罕布拉宮的鑲嵌圖案作品中至少出現(xiàn)了16種對稱。

○ 17種平面對稱群。

這些圖案不僅漂亮，而且在數(shù)學上也很嚴謹。他們以一種驚人的完整方式探索了對稱的基本特征。然而，直到這些對稱的圖形在阿爾罕布拉宮中安放了幾個世紀之后，數(shù)學家才提出了他們對對稱原理的分析。

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準晶體圖案鑲嵌

盡管阿爾罕布拉宮的裝飾令人驚嘆，但波斯的一樣杰作或許可以超越它。1453年，在伊斯法罕的達爾比伊瑪目神殿，一些無名工匠發(fā)現(xiàn)了準晶體結(jié)構(gòu)。這些圖案具有復雜而神秘的數(shù)學性質(zhì)，但直到20世紀70年代出現(xiàn) 彭羅斯瓷磚，數(shù)學家們才開始對這些性質(zhì)進行分析。

彭羅斯瓷磚是一種用規(guī)則的形狀以完全不會自我重復的結(jié)構(gòu)對整個空間進行填充的鑲嵌圖樣。上世紀80年代， 丹·謝赫特曼（Daniel Schectman）發(fā)現(xiàn)這種不同尋常的圖樣也存在于晶體結(jié)構(gòu)中。基于這項發(fā)現(xiàn)，謝赫特曼為準晶體的研究作出了杰出貢獻，并在2011年因此獲得了諾貝爾獎（詳見：《永不重復的圖案》）。這一突破迫使科學家重新考慮他們對物質(zhì)本質(zhì)的概念。

○ ○ Dan Schechtman從一種金屬合金中得到的電子衍射圖顯示出具有十重旋轉(zhuǎn)對稱性的圖樣。| 圖片來源：Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)

2005年，哈佛大學物理學家 Peter James Lu展示了使用 吉里赫瓷磚可以相對容易地產(chǎn)生這種準晶體圖案的可能性。吉里赫瓷磚將幾種純粹的幾何形狀組合成五種圖案：一個正十邊形、一個不規(guī)則六邊形、一個蝴蝶領結(jié)、一個菱形和一個正五邊形。

無論使用的方法什么，很顯然，達爾比伊阿訇的準晶體圖案是由沒受過高等數(shù)學訓練的工匠創(chuàng)造的。而數(shù)學家花了幾個世紀的時間來分析和闡明這些圖案。換句話說，直覺走在了充分理解的前頭。

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透視和非歐幾里德數(shù)學

幾何透視在意大利文藝復興時期引發(fā)了一場藝術(shù)革命，它使得以一種逼真且準確的方法來描繪可見的世界成為可能。有人可能會說，透視法還導致了人們對數(shù)學基本定律的進行重大的重新審視。

○ 這條軌道實際上從未相交，但隨著它們向地平線靠近，似乎它們會在一個遙遠的“消失點”上匯合。| 圖片來源：royluck / flickr

根據(jù)歐幾里得數(shù)學，兩條平行線將永遠保持平行，永不相交。然而，在文藝復興時期的透視法中，平行線最終會在遙遠的“消失點”上相交。換句話說，文藝復興時期的透視法呈現(xiàn)的是一種遵循常規(guī)數(shù)學規(guī)律的幾何，而不是歐幾里德幾何。

當數(shù)學家在19世紀初首次構(gòu)想出非歐幾里得數(shù)學時，他們設想了一個平行線會在無限遠處相交的世界。他們探索的幾何學在很多方面與文藝復興時期的透視法相似。

從那以后，非歐幾里得數(shù)學開始探索12、13維的空間，這遠遠超出了文藝復興時期的透視法。但值得思考的是，文藝復興時期的藝術(shù)是否讓最初的這步飛躍變得更加容易了？

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波洛克的混亂繪畫

一個打破了傳統(tǒng)界限，與近代的數(shù)學發(fā)展有相似之處的有趣的現(xiàn)代藝術(shù)例子是畫家杰克遜·波洛克的作品。

對那些第一次看到波洛克的作品的人來說，這些畫作顯得雜亂無章，毫無意義。然而，隨著時間的推移，我們逐漸發(fā)現(xiàn)作品中的有序元素，盡管不是傳統(tǒng)意義上的那種。它們的形狀既可預測又不可預測，就像水龍頭的滴水模式一樣，你無法預測下一次水滴的確切效果；但如果你繪制水滴的模式，會發(fā)現(xiàn)它們落在一個有著清晰的形狀和邊界的區(qū)域內(nèi)。

○ 波洛克的作品：《灰的彩虹》。| 圖片來源：ancientartpodcast/flickr

這種不可預測性曾在數(shù)學家研究的范圍之外，但近年來，它已成為數(shù)學研究中最熱門的領域之一。例如， 混沌理論探索的就是那些不能被預測，但又落在一定的可定義可能范圍內(nèi)的模式；而分形分析研究的是一類具有相似性但卻不完全相同的形狀。

波洛克本人對數(shù)學并沒有什么特別的興趣，在這方面的才能也非常有限。他對這些圖案的迷戀是憑直覺且主觀的。

有趣的是，數(shù)學家還不能準確地描述波洛克在畫中所做的事情。例如，有人嘗試用 分形分析來創(chuàng)建一個波洛克風格的數(shù)字“簽名”，但到目前為止，這種方法還沒有奏效——我們無法從數(shù)學上區(qū)分波洛克的簽名作品和拙劣的模仿作品。即便波洛克使用了分形的概念，也可能是不正確的。

盡管如此，波洛克的既混亂又有序的模式為數(shù)學提供了一個富有成果的方向。在某種程度上，用數(shù)學工具很有可能可以描述波洛克做了什么，而藝術(shù)家們將不得不繼續(xù)前進，劃出一個可以探索的新領域。

參考鏈接：

https://theconversation/did-artists-lead-the-way-in-mathematics-75355

https://nature/articles/nature05398

www2.clarku.edu/%7Edjoyce/wallpaper/seventeen.html